[Algorithm/JS] 백준 9020번 골드바흐의 추측

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Question

1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

Input

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

Output

각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

Limit

• 4 ≤ n ≤ 10,000

Example

Input 1

3
8
10
16

Output 1

3 5
5 5
5 11

Solution

Solution 1 (시간초과)

const fs = require('fs');
const [cs, ...input] = fs.readFileSync('../input.txt').toString().split('\n').map(Number);

input.map((num) => {
  if (num < 4) return; // 제한 조건

  // 1. 에라토스테네스의 체
  const isPrime = Array(num + 1).fill(true);
  isPrime[0] = isPrime[1] = false; //  0, 1은 소수

  for (let i = 2; i <= Math.ceil(Math.sqrt(num)); i++) {
    if (isPrime[i]) {
      let t = 2;
      while (i * t <= num) {
        isPrime[i * t] = false;
        t++;
      }
    }
  }

  // 2. 짝수 n 까지의 소수 찾기
  let prime = [];
  isPrime.filter((v, i) => v === true && prime.push(i));

  // 3. 두 소수의 차이 값
  let diff = Math.max(...prime);
  let sm = 0; // 두 소수 중 작은 수
  let lg = 0; // 두 소수 중 큰 수

  // 4. 두 소수의 차이가 가장 작은 골드바흐 파티션 구하기
  prime.map((v) => {
    for (let i = 0; i < prime.length; i++) {
      if (v + prime[i] === num) {
        // 4-1
        if (Math.abs(v - prime[i]) < diff) {
          // 4-2
          diff = Math.abs(v - prime[i]); // 4-3
          if (v <= prime[i]) {
            // 4-4
            sm = v;
            lg = prime[i];
          } else {
            sm = prime[i];
            lg = v;
          }
        }
      }
    }
  });
  console.log(sm, lg);
});

1. 에라토스테네스의 체 (opens new window) 방법을 활용하여 0부터 n까지의 범위 중 소수를 찾아냈다. 에라토스테네스의 체 방법을 활용한 해설은 4948 베르트랑 공준 (opens new window) 풀이와 동일하므로 참고하도록 하자.
2. 찾아낸 소스를 prime 배열에 push 했다.
3. diff 변수는 두 소수의 차이가 가장 작은 값을 저장할 용도로 사용한다.
4. 두 소수의 차이가 가장 적은 골드바흐 파티션을 구한다.
   1. 두 소수의 합이 입력값과 같은지 판별한다.
   2. 두 소수의 차가 diff 값보다 작은지 판별한다. Math.abs 는 절댓값을 구하는 메소드
   3. 두 소수의 차가 diff 값보다 작다면 diff 에 할당한다.
   4. 두 소수 중 작은 수를 sm 변수에, 큰 수를 lg 변수에 할당한다.
5. 최종 골드바흐 파디션 출력

결과는 시간초과 🥲

어디에서 시간초과기 일어났을 지 짐작해보면 4번의 for 반복문에서 시간초과가 일어났을 것이라고 생각했다.

0부터 prime 길이까지 모든 수를 검사할 필요가 있을까?

0이 아니라 반복문의 0번째 순환이 끝나면 다음 순환은 1번째 인덱스부터, 또 다음 순환은 2번째 인덱스 부터, 또 다음 순환은 3번째 인덱스 부터, ..., ..., 이렇게 검사하면 검사량이 대폭 줄어들 것이다. 아마도 모든 경우의 수를 순환하느라 시간 초과가 일어났을 것이라 생각했고 아래 코드와 같이 수정했다. 수정한 부분은 별(*)로 표시해두었다.

Solution 2 (성공)

const fs = require('fs');
const [cs, ...input] = fs.readFileSync('dev/stdin').toString().split('\n').map(Number);

input.map((num) => {
  if (num < 4) return;

  // 1. 에라토스테네스의 체
  const isPrime = Array(num + 1).fill(true);
  isPrime[0] = isPrime[1] = false;

  for (let i = 2; i <= Math.ceil(Math.sqrt(num)); i++) {
    if (isPrime[i]) {
      let t = 2;
      while (i * t <= num) {
        isPrime[i * t] = false;
        t++;
      }
    }
  }

  // 2. 짝수 n 까지의 소수 찾기
  let prime = [];
  isPrime.filter((v, i) => v === true && prime.push(i));

  // 3. 두 소수의 차이 값
  let diff = Math.max(...prime);
  let sm = 0;
  let lg = 0;

  // 4. 두 소수의 차이가 가장 작은 골드바흐 파티션 구하기
  prime.map((v) => {
    // *
    for (let i = 0; i < prime.length; i++) {
      // *
      if (v + prime[i] === num) {
        if (Math.abs(v - prime[i]) < diff) {
          diff = Math.abs(v - prime[i]);
          if (v <= prime[i]) {
            sm = v;
            lg = prime[i];
          } else {
            sm = prime[i];
            lg = v;
          }
        }
      }
    }
  });
  console.log(sm, lg);
});